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浅水流动及输运三维数学模型研究进展

[日期:1996-08-23] 来源:中国水资讯网:泥沙研究  作者:张修忠 [字体: ]
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浅水流动及输运三维数学模型研究进展

张修忠,王光谦
(清华大学水沙科学教育部重点实验室)


摘要:对近年来国内外浅水流动及输运三维数学模型的发展作了较全面的回顾,重点论述了数学模型研究中的若干基本问题,包括垂向坐标的σ变换、悬沙输移的近底边界条件、自由水面的计算、紊流的封闭问题以及有效的数值计算方法。讨论了浅水流动及输运三维数学模型有待于进一步研究的方向和发展趋势。

关键词:三维;浅水方程;流动和输运;数值模拟

作者简介:张修忠(1972-),男,山东临沂人,博士生,主要研究方向为泥沙数值模拟。

自Leendertse的开创性工作[1]以来,国外众多的学者发展了大量的浅水流动和输运三维数学模型。比较有代表性包括:美国普林斯顿大学的POM模型[2];美国陆军工程兵团的CH3D系列模型[3];意大利的TRIM3D模型[4]以及荷兰Delft水力学实验室的TRISULA模型[5]。国内一些学者在这方面也做了大量的工作[6~8],但同国外相比,国内模型存在分散、缺少权威等缺点。文献[9,10]评述了国内外海岸河口潮流数值模拟研究的进展情况,其中较大篇幅涉及三维模型。本文首先论述了浅水流动及输运三维数学模型研究中的若干基本问题,鉴于除泥沙近底边界条件尚未完全清楚外,其他边界条件的提法已基本成熟,故不再重复,而后给出了今后研究中应该加强的方向和其发展趋势。

1 σ-坐标变换

浅水流动和输运三维数学模型垂向空间的离散通常在笛卡儿坐标系或σ坐标系下进行,为适应不规则的床面地形,在笛卡儿坐标系下可以对床面做阶梯化近似处理,但这样会带来床面计算精度降低。此外,笛卡儿坐标下常采取垂向固定分层的做法,即任意一水平位置的分层数与水深成正比,显然,这种网格系统对高剪切应力的浅水区的分辨率不高,且在给定底边界和水面边界条件时会遇到很大困难。

为克服笛卡儿坐标的不足,浅水流动和输运三维数学模型多采用σ坐标变换,即:

σ=(z-η)/D (1)


式中:z、η和D分别为笛卡儿坐标下的垂向坐标、自由水面和水深。

由式(1)看出,在σ坐标下,整个计算域均匀地处于0和-1之间。这样数值离散与计算就可以在一个固定的盒式区域内进行,计算域在垂向可以分为相同的层数,带来了网格剖分和数值离散的方便。同时,在σ坐标下可以精确地给定床面和水面的边界条件,而在笛卡儿坐标下则几乎无法做到这一点。因此,对于床面和自由表面变化缓慢的水域,σ坐标变换能够保证在垂向有较高的分辨率。正是基于上述优点,多数浅水流动和输运三维数学模型[6-8,12,13]使用了该坐标系,包括著名的POM模型、CH3D系列模型和TRISULA模型。

若对式(1)微分,可得到:Δzk=DΔσk (2)
式中:Δzk和Δσk分别表示物理坐标和变换坐标下第k层水体的层高。

式(2)表明,在σ坐标下,物理域的垂向网格尺寸只是水深的函数,其任意一点的层高正比于该点的水深。因此当床面或水面变化剧烈时,深水区的层高可能较大,致使垂向网格分布稀疏,难以精确地分辨床面或水面处的高流速梯度和浓度梯度。尽管增加层数可以弥补这一缺陷,但无疑会增加存储量和计算量,降低模型效率。

为了提高床面或水面处的分辨精度,文献[14]改进了初始的σ坐标变换,通过引进一个正比于当地水深的集中因子,使垂向网格的分布能够在水面或床面处集中。计算表明,在同等的计算精度条件下,较之初始的σ坐标系,改进的坐标系具有明显的效率优势。考虑到初始的及改进的σ坐标的网格分布均不能随时间变化,不能精确地反映输运物质浓度梯度的变化,文献[15]提出了梯度自适应σ坐标变换,即引入求解变量的梯度及梯度的变化率作为附加的控制因子。因此,该坐标变换既能够根据床面地形的变化布置垂向网格,又能够根据浓度梯度随时空的变化自动调整当地的网格分布。

2 泥沙近底边界条件

床面附近泥沙交换现象极其复杂,泥沙交换机理至今仍不十分清楚,因此即便是近底边界条件的提法也不尽相同,韩其为[16]将其归纳为六类并进行了分析和对比。周建军[17]则认为:在冲刷条件下应使用浓度型边界条件,淤积时应使用梯度型边界条件。

相应于Dirichlet、Neumann和混合边界条件,泥沙床面边界条件可分为浓度型、梯度型和通量型,分别表示为:

c|a=Ca,e (3)
-εc/z|a=E (4)
-(εc/z+ωc)|a=E-D (5)

式中:Ca,e、E和D分别代表平衡近底含沙浓度、床面泥沙的上扬通量和沉降通量;a代表距离床面的参考高度;ε代表泥沙的垂向扩散系数;ω代表泥沙的沉速;符号c|a表示参考高度a处的浓度值。

式(3)假定近底悬沙浓度等于平衡近底含沙量,是一种平衡条件,故不能作为一种普遍形式的近底边界条件。较之式(4),式(5)的物理意义更加明确,被更普遍地用作泥沙的近底边界条件。

由于D可以由泥沙的有效沉降速度和当地含沙量确定,因而E、Ca,e和a的计算就成为确定泥沙近底边界条件的关键。然而由于问题的复杂性,它们的计算无不强烈地依赖于各种经验或半经验方法。曹志先基于湍流猝发作用构造了床面泥沙上扬通量的理论模式,并在此基础上导出了平衡近底含沙浓度[18],然而现有的床面泥沙上扬通量及平衡近底含沙浓度公式的验证仅局限于有限的水槽试验资料,其可靠性还有待于进一步的检验。参考高度a的计算方法也是纯经验性的,大致可归纳为三类。一是认为a应取数倍的床沙粒径,象Einstein假定a在各种水流条件下,其值均为床沙粒径的两倍;Engelund取a=d;Wilson认为a=10θd,其中θ为谢尔兹数。二是建立a与沙波高度或床面粗糙度之间的关系,壁如Van Rijn定义a为沙波高度的一半或者等于床面的糙度,且在任何情况下小于0.01倍的水深;三是建立与水深的联系,如Garcia取0.05倍的水深。不难看出,这些经验方法会造成a值差别很大。方法三中的a只是水深的函数,当水深较大而泥沙较细时可能会产生较大的误差,方法一的物理概念似乎更加直观,且比方法二使用方便,因此应用最为广泛。

3 自由表面的计算

自由水面作为运动的边界同样需要赋以边界条件。在非恒定流情况下,水位随时间变化,导致计算域随时间改变;且在某些情况下,自由水面的位置可能是坐标的多值函数;因此,如何准确地计算自由水面的位置就变得比较困难。此外,自由水面的运动可能会造成水流压力的变化,进而对流场特别是二次流的精细结构产生影响,因此自由表面的计算就显得非常重要。现有的计算自由表面的方法主要有:

(1)刚盖假定 认为自由水面固定不变,其法向速度为零。(2)水位函数法 利用自由表面的运动学边界条件沿水深积分连续方程,将得到的水深平均的连续方程作为水位的控制方程,求解该方程即可得到自由表面的位置。该方法适用于自由表面变化不太剧烈且没有重叠的单值自由表面的流动问题。(3)MAC法[19]把不随流体运动的欧拉网格和随流体运动的拉格朗日标记点结合起来,在含有流体的计算网格内放置标记点,标记点总是以当地流速随流体一起运动,因而可以通过标记点的运动来描述自由表面的运动。该方法的缺点是需要较多的存储空间和计算时间来跟踪标记点的运动,且对不规则边界的适应性较差。(4)Lagrangian与ALE法[20]该方法直接在运动的计算域内求解控制方程,计算网格随流体一起运动,能真实而详细地模拟出流体域的非恒定变化,经济、有效而又实用。其主要缺陷在于不能模拟间断型的自由面。(5)VOF法[21]通过求解一个流体体积函数的对流输运方程来捕捉运动的自由水面。方法简便易行,稳定性好,既具有MAC法的优点,又节省了机时和存储空间,同时克服了水位函数法无法处理自由面多值问题及Lagrangian与ALE法无法模拟间断自由面的缺点。其缺点在于计算域必须始终包括可能出现的最大的真实流体区域,计算中增加了对并不存在的虚拟流体区域的不必要的计算。

对于大区域、水面变化平缓的流动,采用静压近似或刚盖假定处理自由表面,既能够反映流动的主要特征,又能大大的简化计算。基于浅水方程的流动和输运模型,采用水位函数法可以方便的计算自由表面的位置[12,13,15,22~24]。

4 紊流封闭问题

现有的紊流计算方法主要是基于涡粘性假设,涡粘性概念将紊流封闭问题转化为如何确定涡粘性在流场中的分布问题。有多种平均和模型方法可用于计算涡粘性,譬如,若对基本方程进行雷诺时均,可采用任何一种紊流模型;若对基本方程进行空间平均或滤波处理,可采用亚格子尺度模型(Subgrid scale model)。然而,对于某一具体问题,选用何种程度的紊流封闭模型尚无统一的标准。以紊动输运项在基本方程中的相对重要性作为选择的物理依据,且综合考虑精度、效率及复杂性等实际因素的做法是合理的。

对于很多大范围的浅水流动问题,动量方程的惯性项主要由压力梯度项或浮力项平衡,是否应用精细的紊流模型就显得并不重要。因此,出于简化计算的目的,很多流动和输运三维模型[6,7,11,12,15,22~25]或者使用一个经验系数或者使用一个简单紊流模型。此外,由于动量方程中的水平涡粘性项与垂向涡粘性项相比通常是小量,且其影响常为数值耗散所掩盖,很多浅水模型[6,22]或者忽略水平扩散项或者简单地使用一个恒定的水平涡粘性系数。然而,由于该二阶微分项在数值计算中具有光滑效应,能够增加数值计算的稳定性,在深水区,特别当离散网格尺寸较大时,或者当计算域的地形变化剧烈时,保留水平涡粘性项是必要的。

当流动比较复杂或者需要考虑物质输运时,使用精细的紊流模型就显得非常必要。κ-ε双方程模型是最简便的精细紊流模型,也是目前应用最广泛的紊流模型,并在相当广泛的范围内得到了充分的检验,证明是实用和有效的,很多三维流动和输运模型[8,13,14,26,27]也都使用了该模型。然而,标准的κ-ε模型假定涡粘性系数是各向同性的标量,即水平涡粘性与垂向涡粘性相等,而浅水流动通常表现出垂向紊动尺度小于水深和水平紊动尺度远大于水深的紊动结构,这种双重紊动结构以及强烈的各向异性导致水平和垂向扩散系数存在较大差异,因此标准的单尺度(single length scale)κ-ε模型将低估水平涡粘性系数。应力-通量方程模型、应力-代数模型以及两尺度(two-scale)κ-ε模型[27]克服了单尺度κ-ε模型的这一缺陷。但由于计算繁琐,较少应用到大尺度水体的计算中,而且基于雷诺平均的紊流模型无法模拟水平大尺度漩涡的动态演化。

研究表明,紊流是由不同尺度的旋涡组成,大涡对紊流能量和雷诺应力的产生以及对各种量的紊动扩散起主要作用,其行为强烈地依赖于边界条件,随流动类型而异;小涡主要对能量耗散起作用,在高雷诺数下近似于各向同性,受边界影响较小。因此,用雷诺平均的方法并不能真实地反映紊流的上述特点,因为此时的雷诺应力项包含了全部大涡引起的脉动。更合理的方法是把紊流的瞬时运动通过某种滤波函数分解为大尺度运动和小尺度运动,大尺度运动由基本方程直接数值求解,小尺度运动对大尺度运动的影响在动量方程中表示为亚格子雷诺应力,使用亚格子模型模拟小涡。亚格子模型的主要优点是大涡部分可以精确求解,计算受人工模型的影响较小。然而,亚格子模型要求网格足够细,导致计算量大增,解决大尺度的实际工程问题尚有困难。

实际的潮流的计算中,常建立垂向涡粘性与流速或剪切应力之间的相关关系[9],水平涡粘性系数则由Samagorinsky模型[28]计算。试验显示,密度分层对水平紊动扩散系数影响很小,可忽略不计,但垂向扩散系数需要由Munk-Anderson公式修正。

5 数值计算方法

浅水流动及输运三维数值计算方法在过去二十多年的时间里取得了巨大的进展:在空间离散上,有差分法、有限元法和有限体积法;在适应物理域的复杂几何形状上,有贴体坐标变换及σ坐标变换;在时间积分上,有显式、隐式、半隐格式以及时间分步;在求解技术上,有ADI法、迭代法、多重网格法以及并行计算技术;在干湿、露滩动边界的处理上,有固定网格和动态网格技术;在悬沙输运重力沉降项的处理上,有源项化和对流化的做法;在提高精度上,有欧拉-拉格朗日法和差分有限元杂交法等。限于篇幅,本文只给出了几种常用的比较有效的计算方法,并分析它们的优缺点。

5.1时间分步法 时间分步法的基本思想是引入一个或多个中间变量,在每一时间步内把对时间的积分分解成两个或多个子时间过程,象著名的ADI差分格式、预测-校正格式以及高阶Runge-Kutta法。常用的时间分步法可分为基于空间概念上的分步和基于物理概念上的分步,按照坐标轴方向对控制方程进行的分步是空间概念上的分步法,象广泛使用的局部一维化处理方法;根据方程中各项的物理意义进行的分步则属于物理概念上的分步法。空间分步的优点是能够带来计算的简化,省时省内存,文献[11]对悬沙输移方程分解成平面二维和垂向一维两部分进行求解。经物理概念上的分步后,可以对方程的各项选用最适合的离散方法,文献[15,29,30]将控制方程分解为对流、扩散和波动三个不同的物理过程。文献[31]提出的三步有限元则属于分步法在有限元中的应用。

5.2模式分裂技术 鉴于具有自由表面的浅水流动在物理上表现为快速传播的表面重力波和缓行的内重力波的两重属性,可以将模型方程相应的分裂为内模式和外模式两部分,此乃模式分裂的物理依据。内模式方程为原始的三维方程,主要代表动量的垂向交换过程,外模式方程通过沿水深积分内模式方程获得,内外模式耦合计算。尽管求解外模式要求较小的时间步长,但是由于不受表面重力波波速的限制,内模式的三维计算可以使用较大的时间步长,从而获得较高的计算效率,这就是进行模式分裂的目的和结果。著名的POM模型、CH3D系列模型就采用了该技术,此外很多浅水流动和输运模型也使用了该技术[6,7,14,29]。需要注意的是,在进行模式分裂时,必须确保内外模式各物理量及底部剪切应力的相容性,否则可能导致数值计算的不收敛。

5.3 半隐格式 由于允许使用较大的时间步长且无需求解大型稀疏矩阵方程,同全显、全隐的差分格式相比,ADI差分格式带来了计算效率的提高。然而,ADI格式使用交替方向隐式求解,不能恰当考虑不同方向流动之间的相互作用,数值解存在流速向量向某坐标轴方向偏斜的一维化趋势,即所谓的ADI效应[32]。当流向与坐标轴夹角为45′时误差最大,且误差随时间步长的增大而增大,尽管限制时间步长可以减小ADI效应,但无疑降低了ADI格式的效率。

为克服上述ADI格式及模式分裂技术等的不足,文献[23]提出了一种求解三维浅水方程的半隐差分格式。通过在每一时间步内对动量方程中的压力梯度项和垂向涡粘性项以及自由水面方程的流速作隐格式差分离散,对动量方程中的对流项、水平涡粘性项以及柯氏力项使用欧拉-拉格朗日法离散,既克服了显式离散的稳定性条件受表面重力波波速和垂向扩散项限制的缺点,又避免了隐式离散需要求解大型稀疏矩阵方程的困难,并较之欧拉法具有较高的离散精度。得益于上述离散格式,可以采取如下的求解方法。先对由水位方程离散得到的线性、对称、正定、五对角且对角占优的矩阵方程应用共轭梯度法求解得到水位;然后对由动量方程离散得到的线性、三对角且对角占优的矩阵方程应用直接求法解得到水平流速;最后由连续方程积分得到垂向流速。稳定性分析及计算实例表明[4,23],该格式较之传统的全显、全隐差分格式有显著的效率优势,在作者的San Francisco湾三维潮流计算中,最大Courant数超过了50,平均Courant数为20。此后,此半隐差分格式被进一步应用于密度分层和非静压的三维自由表面流的计算中[24]。Stansby将该半隐思想应用到σ坐标和有限体积法中[12,26]。

5.4 有限元离散 为克服结构化网格(Structured grid)对复杂边界处理的困难,计算中常采用贴体曲线坐标。尽管近年来各种代数与微分方程曲线坐标网格生成技术取得了很大进展,但对于非常复杂的实际工程问题,特别是三维问题,曲线坐标网格的生成仍然是相当困难和费时的。而且坐标变换使控制方程复杂化,致使贴体坐标变换在实际应用中受到限制。采用非结构化网格(Unstructured grid)是处理复杂几何边界问题的重要方向。

与差分法不同,有限元是积分形式的离散方法。与基于变分原理的经典的结构分析中的有限元不同,现代有限元建立在函数分析或优化理论等数学基础之上,可以看作是广义加权余量法的控制方程弱解的统一形式,若选取特定的权函数,有限元法可以退化为有限差分、有限体积等方法。由于具有任意局部加密、边界适应能力强、通用性强及精度高等优点,有限元在固体力学中获得了巨大的成功。然而,传统的Galerkin法等价于中心差分格式,随着雷诺数的增大,N-S方程不仅呈现高度的非线性而且方程的性质也会发生退化,呈现混合型方程的性质,简单的采用Galerkin法将导致稳定和收敛方面的问题,这是阻碍有限元在计算流体力学领域广泛应用的一个主要原因。随着近年来诸如流线迎风、Taylor-Galerkin[33]、分步[31]及高分辨率[34]等有限元格式的提出,有限元已经能够适用于对流占优的高雷诺数流动。此外,现代迭代技术使用共轭梯度法求解隐式有限元矩阵方程也是非常高效的,且随着并行计算的发展,显格式结合多重网格加速的有限元也将是更加高效的。

文献[9]给出了有限元在国外三维潮流模拟中的应用情况。文献[35]使用Petro-Galerkin有限元法建立了河流及河口泥沙输移三维数学模型。文献[25,36]使用半隐有限元格式对三维浅水及分层流动进行了计算。Zienkiewicz[37]发展的基于特征分裂的有限元浅水方程模型具有较高的计算效率。Kashiyama[38]在并行计算机上实现了潮流和风暴潮的数值模拟。

6 结语

浅水流动和输运三维数学模型的发展离不开基本理论的发展和完善。紊流对物质的输移、特别是重颗粒物质的起动和落淤起着决定性的作用,但由于问题的复杂性,目前对紊流的认识尚不十分清楚;重颗粒物质的输移,特别是悬移质泥沙的输移,其大部分成熟的理论还是建立在一维恒定均匀流的基础上,象糙率、挟沙力、恢复饱和系数等;在海岸河口地区,由于波浪和潮流的共同作用,污染物、盐度和泥沙的相互影响,悬沙等物质的运动和输移规律都是非常模糊而又亟待解决的问题。因此应加大对紊流运动和悬沙等物质输移规律的理论和试验研究。

同二维数值计算相比,浅水流动和输运三维数学模型对计算格式和求解方法要求更加苛刻。三维模型的结构复杂,计算工作量巨增,要求模型必须有较高的效率,而时间步长既要受表面浅水重力波快速传播的限制又要受垂向扩散项的制约,如何克服这一矛盾就显得非常重要。现有数值计算方法无论是模式分裂,还是只对水位梯度和垂向扩散项隐式积分的半隐格式,都很好地符合了浅水流动的物理本质。为使模型具有较强的地形适应能力的贴体坐标和σ坐标变换技术已得到了相当广泛的应用,但是基于非结构化网格的离散方法和在真实物理域中求解基本方程的做法是一个重要的发展方向。为减轻三维模型所要求的大量的人工工作和减少差错,网格的自动生成、初边值条件的自动给定以及数据的图形化处理就显得尤为重要,与CAD、GIS等技术相结合是模型发展的一个重要趋势。

受计算机容量和速度的限制,大尺度浅水流动和输运问题的动态网格计算技术尚难实用,固定网格的具有较好守恒性的动边界处理技术需要进一步的研究。建立能够分辨长波与短波等不同空间尺度共存问题的合理的计算模型,以及开发基于并行计算的高效高精度的流动和输运模型是今后有待努力的方向。

参 考 文 献:

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